József Kossalkó nacque il 5 gennaio 1832 a Nagysáros e fu ordinato sacerdote il 27 luglio 1855. Iniziò la sua carriera sacerdotale nella diocesi di Szepes, poi nel 1858 fu incardinato nella diocesi di Košice. Durante il suo servizio in Ungheria, ha operato come vicario a Szepesváralja, Béla, Kluknó e Nagysáros, in seguito è stato cappellano militare presso il 66° reggimento di fanteria, poi ha servito come pastore a Bátya, Lapispatak e Ossikó.

Nel 1884 emigrò negli Stati Uniti, dove apparve prima a Streator, nello Stato dell’Illinois, per poi diventare parroco della comunità cattolica slovacca di Hazleton, in Pennsylvania. Secondo la storia della parrocchia di San Giuseppe di Hazleton, dall’8 aprile 1890 al 28 febbraio 1892 ha operato come secondo parroco della parrocchia. Durante il suo ministero la parrocchia attraversò un periodo difficile e, dopo la sua partenza, rimase a lungo senza un parroco stabile. La storia ufficiale della parrocchia afferma chiaramente che nel 1892 tornò in Europa.

Secondo i dati ungheresi e americani a lui relativi, la sua attività negli Stati Uniti non fu priva di problemi. A Hazleton si sviluppò un grave conflitto tra lui e una parte dei fedeli e, secondo le fonti ungheresi, fu anche accusato di appropriazione indebita, sebbene per il momento non sia stato possibile confermare i dettagli di ciò da fonti archivistiche primarie. La fase successiva della sua vita è particolarmente incerta. Secondo altre fonti, tra il 1893 e il 1910 avrebbe prestato servizio a Bridgeport, nello Stato della Pennsylvania; tuttavia, ciò è difficilmente conciliabile con la dichiarazione della parrocchia di Hazleton secondo cui nel 1892 sarebbe tornato in Europa.

Il luogo e la data della sua morte sono attualmente sconosciuti. Sulla base dei dati disponibili, si può affermare con certezza che egli fu uno dei pastori cattolici slovacchi americani della fine del XIX secolo, ma la sua attività è oscurata da conflitti e circostanze ancora oggi poco chiare.